Trojúhelník 2 9 10




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2
b = 9
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 8,1821534086
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Úhel ∠ A = α = 10,47553138432° = 10°28'31″ = 0,18328287167 rad
Úhel ∠ B = β = 54,99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 2,00105717581 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,1821534086
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,81881186858
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,63663068172

Těžnice: ta = 9,46604439642
Těžnice: tb = 5,63547138348
Těžnice: tc = 4,18333001327

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,77991937225
Poloměr opsané kružnice: R = 5,55001909822

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[1,15; 1,63663068172]
Těžiště: T[3,71766666667; 0,54554356057]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -2,29217462426]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,77991937225]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,52546861568° = 169°31'29″ = 0,18328287167 rad
∠ B' = β' = 125,10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 2,00105717581 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=9 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=2+9+10=21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=212=10,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 21 }{ 2 } = 10{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−2)(10,5−9)(10,5−10) S=10,5⋅ 8,5⋅ 1,5⋅ 0,5 S=66,938=8,182S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 10{,}5(10{,}5-2)(10{,}5-9)(10{,}5-10) } \ \\ S = \sqrt{ 10{,}5 \cdot \ 8{,}5 \cdot \ 1{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 66{,}938 } = 8{,}182

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 8,1822=8,182 vb=2 Sb=2⋅ 8,1829=1,818 vc=2 Sc=2⋅ 8,18210=1,636S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 8{,}182 }{ 2 } = 8{,}182 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 8{,}182 }{ 9 } = 1{,}818 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 8{,}182 }{ 10 } = 1{,}636

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−22​)=10°28′31"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 2⋅ 1022+102−92​)=54°54′1" γ=180°−α−β=180°−10°28′31"−54°54′1"=114°37′28"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=8,18210,5=0,779S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 8{,}182 }{ 10{,}5 } = 0{,}779

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=2⋅ 9⋅ 104⋅ 0,779⋅ 10,5=5,5R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 2 \cdot \ 9 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 0{,}779 \cdot \ 10{,}5 } = 5{,}5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 92+2⋅ 102−222=9,46 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 102+2⋅ 22−922=5,635 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 22+2⋅ 92−1022=4,183t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 9^2+2 \cdot \ 10^2 - 2^2 } }{ 2 } = 9{,}46 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 2^2 - 9^2 } }{ 2 } = 5{,}635 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 2^2+2 \cdot \ 9^2 - 10^2 } }{ 2 } = 4{,}183

Vypočítat další trojúhelník