Trojúhelník 2 10 11

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2
b = 10
c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 9,05219334951
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 9,47328720666° = 9°28'22″ = 0,16553328072 rad
Úhel ∠ B = β = 55,37664645208° = 55°22'35″ = 0,9676501634 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,15106634125° = 115°9'2″ = 2,01097582124 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,05219334951
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,8110386699
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,646580609

Těžnice: t_a = 10,46442247682
Těžnice: t_b = 6,1243724357
Těžnice: t_c = 4,66436895265

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,78771246517
Poloměr opsané kružnice: R = 6,07660499433

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[1,13663636364; 1,646580609]
Těžiště: T[4,04554545455; 0,549860203]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -2,58223212259]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,78771246517]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 170,52771279334° = 170°31'38″ = 0,16553328072 rad
∠ B' = β' = 124,62435354792° = 124°37'25″ = 0,9676501634 rad
∠ C' = γ' = 64,84993365875° = 64°50'58″ = 2,01097582124 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 10 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 10 + 11 = 23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 23 }{ 2 } = 11{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5(11{,}5-2)(11{,}5-10)(11{,}5-11) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5 \cdot \ 9{,}5 \cdot \ 1{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 81{,}938 } = 9{,}052

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 9{,}052 }{ 2 } = 9{,}052 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 9{,}052 }{ 10 } = 1{,}81 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 9{,}052 }{ 11 } = 1{,}646

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 9 ° 2 8^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 1}) = 55 ° 2 2^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 9 ° 2 8^{'} 22 " - 55 ° 2 2^{'} 35 " = 115 ° 9^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 9{,}052 }{ 11{,}5 } = 0{,}787

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 2 \cdot \ 10 \cdot \ 11 }{ 4 \cdot \ 0{,}787 \cdot \ 11{,}5 } = 6{,}076

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 11^2 - 2^2 } }{ 2 } = 10{,}464 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 2^2 - 10^2 } }{ 2 } = 6{,}124 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 2^2+2 \cdot \ 10^2 - 11^2 } }{ 2 } = 4{,}664

Vypočítat další trojúhelník