V Kocourkově - Z8-I-6 2019 MO

V Kocourkově používají mince pouze se dvěma hodnotami, které jsou vyjádřeny v kocourkovských korunách kladnými celými čísly. Pomocí dostatečného množství takových mincí je možné zaplatit jakoukoli celočíselnou částku větší než 53 kocourkovských
korun, a to přesně a bez vracení. Částku 53 kocourkovských korun však bez vracení zaplatit nelze.

Zjistěte, které hodnoty mohly být na kocourkovských mincích. Určete alespoň dvě řešení.

Správná odpověď:

a1 =  3
b1 =  28
a2 =  4
b2 =  19
a3 =  7
b3 =  10
a4 =  2
b4 =  55

Postup správného řešení:

53 ​= ax​ + by​ 53 < ax​ + by​  a1​=3
b1​=28 t1​=18⋅ a1​+0⋅ b1​=18⋅ 3+0⋅ 28=54 t2​=9⋅ a1​+1⋅ b1​=9⋅ 3+1⋅ 28=55 t3​=0⋅ a1​+2⋅ b1​=0⋅ 3+2⋅ 28=56 … b1​=28
a2​=4
b2​=19 t4​=4⋅ a2​+2⋅ b2​=4⋅ 4+2⋅ 19=54 t5​=9⋅ a2​+1⋅ b2​=9⋅ 4+1⋅ 19=55 t6​=14⋅ a2​+0⋅ b2​=14⋅ 4+0⋅ 19=56 t7​=0⋅ a2​+3⋅ b2​=0⋅ 4+3⋅ 19=57 …
a3​=7
b3​=10
a4​=2
b4​=55 t8​=27⋅ a4​+0⋅ b4​=27⋅ 2+0⋅ 55=54 t9​=0⋅ a4​+1⋅ b4​=0⋅ 2+1⋅ 55=55 t10​=28⋅ a4​+0⋅ b4​=28⋅ 2+0⋅ 55=56 …

Zkusit jiný příklad


Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 9 komentářů:
Honza
A jak poznám jakou číslicí dám jako A1 popř. A2?

5 let  9 Likes
Danix
A jak poznám co bude x a co y?

5 let  2 Likes
Jaja
Jak jste došli k těm hodnotám, prosím. Rovnice sestavit umím, ale empiricky k hodnotám nedojdou a spočítat nejdou děkuji

5 let  1 Like
Franta
Frobeniovo číslo
Problém mincí (označovaný také jako problém frobenské mince nebo Frobeniův problém po matematikovi Ferdinandu Frobeniovi) je matematický problém, který hledá největší peněžní částku, kterou nelze získat pouze pomocí mincí určených nominálních hodnot. Například největší částka, kterou nelze získat pouze pomocí mincí 3 a 5 jednotek, je 7 jednotek.
Řešení tohoto problému pro danou sadu nominálních hodnot mincí se nazývá Frobeniovo číslo.
Frobeniovo číslo existuje, pokud sada nominálních hodnot mincí nemá společný dělitel větší než 1.

Pokud existují pouze dvě různé nominální hodnoty mincí x a y, potom pro Frobeniovo číslo existuje explicitní vzorec: xy − x − y.

Tento vzorec objevil James Joseph Sylvester v roce 1882.

Známe Frobeniovo číslo: 53, a máme určit x a y. Tedy:
xy – x – y = 53
xy – x – y + 1 = 53 + 1
x(y – 1) – (y – 1) = 54
(y – 1)(x – 1) = 54

Možné dvojice:
2 a 27, to je y = 3, x = 28
3 a 18, to je y = 4, x = 19
6 a 9, to je y = 7, x = 10

4 roky  2 Likes
Žák
Podle mě jde i varianta 55 a 2

4 roky  1 Like
Matematik
tak skusme: 54 = 55a+2b

a = 55b+2c
a>53
a<70
b>=0
c>=0

a1=54, b1=0, c1=27
a2=55, b2=1, c2=0
a3=56, b3=0, c3=28
a4=57, b4=1, c4=1
a5=58, b5=0, c5=29
a6=59, b6=1, c6=2
a7=60, b7=0, c7=30
a8=61, b8=1, c8=3
a9=62, b9=0, c9=31
a10=63, b10=1, c10=4
a11=64, b11=0, c11=32
a12=65, b12=1, c12=5
a13=66, b13=0, c13=33
a14=67, b14=1, c14=6
a15=68, b15=0, c15=34
a16=69, b16=1, c16=7

cize bingo... mozno jsme to zbytocne obmedzili ze obe mince musi byt mensi nez nebo rovne 53 ...

Franta
Text příkladu: Pomocí dostatečného množství takových mincí je možné zaplatit jakoukoli celočíselnou částku větší než 53 kocourkovských korun, a to přesně a bez vracení. Částku 53 kocourkovských korun však bez vracení zaplatit nelze.
Pane "Žák", jak může varianta 55 a 2 vyhovovat tomuto textu?
Panu "Matematikovi" snad rozumí jen on sám.

Franta
Beru zpět, 54 = 1 . 54, tedy y = 2, x = 55 To vyhovuje rovnici x.y - x - y = 53

Žák
Díky "Franto" že umíš přijmout cizí názor.





Tipy na související online kalkulačky
Naše kalkulačka pro výpočet procent Vám pomůže rychle vypočítat různé typické úlohy s procenty.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Chcete převést dělení přirozených čísel - zjistit podíl a zbytek?
Chcete proměnit jednotky času, např. hodiny na minuty?

K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

Jednotky fyzikálních veličin:

Téma:

Úroveň náročnosti úkolu:

Související a podobné příklady: