Na fotbalovém

Na fotbalovém turnaji osmi týmů, kde hrál každý s každým právě jednou, byly body udělovány takto: vítěz zápasu získal 3 body, poražený 0 bodů a při remíze si každý tým připsal 1 bod. Na konci turnaje byl součet bodů získaných všemi týmy roven 61. Kolik nejvíce bodů mohl získat vítěz turnaje?

Správná odpověď:

x =  21

Postup správného řešení:

a1=3+0=3 a2=1+1=2  n=8  m=2n (n1)=28 (81)=28  x=(n1) a1=(81) 3=21



Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 1 komentář:
Dr. Math
K vyřešení této úlohy postupujeme následovně:

1. Celkový počet zápasů


Na turnaji hraje 8 týmů, přičemž každý tým hraje s každým právě jednou. Celkový počet zápasů je dán kombinačním číslem:
Počet zápasů = 8 × 72 = 28.

2. Celkový počet bodů


V každém zápase se rozdělí body podle výsledku:
- Pokud zápas skončí vítězstvím jednoho týmu, rozdělí se 3 body (3 vítězi, 0 poraženému).
- Pokud zápas skončí remízou, rozdělí se 2 body (1 každému týmu).

Na konci turnaje byl celkový počet bodů 61. Protože v každém zápase se rozdělí 2 nebo 3 body, musí platit:
2 × 28 = 56 leq 61 leq 3 × 28 = 84.

3. Počet remíz


Rozdíl mezi skutečným počtem bodů (61) a minimálním možným počtem bodů (56) udává, kolik zápasů skončilo vítězstvím jednoho týmu:
61 - 56 = 5.

To znamená, že 5 zápasů skončilo vítězstvím jednoho týmu (a rozdělením 3 bodů), zatímco zbylých 23 zápasů skončilo remízou (a rozdělením 2 bodů).

4. Maximální počet bodů pro vítěze


Pro maximalizaci bodů vítěze předpokládáme, že vítěz vyhrál všechny své zápasy. Protože každý tým odehraje 7 zápasů, vítěz by mohl získat:
7 × 3 = 21 bodů.

5. Ověření možnosti


Zbývajících 7 týmů by pak získalo:
61 - 21 = 40 bodů.

Těchto 40 bodů musí být rozděleno mezi 7 týmů, přičemž každý tým může získat maximálně:
6 × 3 = 18 bodů quad (pokud vyhrál všechny své zbylé zápasy).

Součet maximálních bodů pro 7 týmů je:
7 × 18 = 126 bodů,

což je více než 40, takže takové rozdělení je možné.

Závěr


Vítěz turnaje mohl získat maximálně 21 bodů.





Tipy na související online kalkulačky
Viz také naši kalkulačku permutaci.
Viz také naši kalkulačku variací.
Chceš si dát spočítat kombinační číslo?

K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

Související a podobné příklady: