Na fotbalovém
Na fotbalovém turnaji osmi týmů, kde hrál každý s každým právě jednou, byly body udělovány takto: vítěz zápasu získal 3 body, poražený 0 bodů a při remíze si každý tým připsal 1 bod. Na konci turnaje byl součet bodů získaných všemi týmy roven 61. Kolik nejvíce bodů mohl získat vítěz turnaje?
Správná odpověď:
Zobrazuji 1 komentář:
Dr. Math
K vyřešení této úlohy postupujeme následovně:
Na turnaji hraje 8 týmů, přičemž každý tým hraje s každým právě jednou. Celkový počet zápasů je dán kombinačním číslem:
V každém zápase se rozdělí body podle výsledku:
- Pokud zápas skončí vítězstvím jednoho týmu, rozdělí se 3 body (3 vítězi, 0 poraženému).
- Pokud zápas skončí remízou, rozdělí se 2 body (1 každému týmu).
Na konci turnaje byl celkový počet bodů 61. Protože v každém zápase se rozdělí 2 nebo 3 body, musí platit:
Rozdíl mezi skutečným počtem bodů (61) a minimálním možným počtem bodů (56) udává, kolik zápasů skončilo vítězstvím jednoho týmu:
To znamená, že 5 zápasů skončilo vítězstvím jednoho týmu (a rozdělením 3 bodů), zatímco zbylých 23 zápasů skončilo remízou (a rozdělením 2 bodů).
Pro maximalizaci bodů vítěze předpokládáme, že vítěz vyhrál všechny své zápasy. Protože každý tým odehraje 7 zápasů, vítěz by mohl získat:
Zbývajících 7 týmů by pak získalo:
Těchto 40 bodů musí být rozděleno mezi 7 týmů, přičemž každý tým může získat maximálně:
Součet maximálních bodů pro 7 týmů je:
což je více než 40, takže takové rozdělení je možné.
Vítěz turnaje mohl získat maximálně 21 bodů.
1. Celkový počet zápasů
Na turnaji hraje 8 týmů, přičemž každý tým hraje s každým právě jednou. Celkový počet zápasů je dán kombinačním číslem:
Počet zápasů = 8 × 72 = 28.
2. Celkový počet bodů
V každém zápase se rozdělí body podle výsledku:
- Pokud zápas skončí vítězstvím jednoho týmu, rozdělí se 3 body (3 vítězi, 0 poraženému).
- Pokud zápas skončí remízou, rozdělí se 2 body (1 každému týmu).
Na konci turnaje byl celkový počet bodů 61. Protože v každém zápase se rozdělí 2 nebo 3 body, musí platit:
2 × 28 = 56 ≤ 61 ≤ 3 × 28 = 84.
3. Počet remíz
Rozdíl mezi skutečným počtem bodů (61) a minimálním možným počtem bodů (56) udává, kolik zápasů skončilo vítězstvím jednoho týmu:
61 - 56 = 5.
To znamená, že 5 zápasů skončilo vítězstvím jednoho týmu (a rozdělením 3 bodů), zatímco zbylých 23 zápasů skončilo remízou (a rozdělením 2 bodů).
4. Maximální počet bodů pro vítěze
Pro maximalizaci bodů vítěze předpokládáme, že vítěz vyhrál všechny své zápasy. Protože každý tým odehraje 7 zápasů, vítěz by mohl získat:
7 × 3 = 21 bodů.
5. Ověření možnosti
Zbývajících 7 týmů by pak získalo:
61 - 21 = 40 bodů.
Těchto 40 bodů musí být rozděleno mezi 7 týmů, přičemž každý tým může získat maximálně:
6 × 3 = 18 bodů quad (pokud vyhrál všechny své zbylé zápasy).
Součet maximálních bodů pro 7 týmů je:
7 × 18 = 126 bodů,
což je více než 40, takže takové rozdělení je možné.
Závěr
Vítěz turnaje mohl získat maximálně 21 bodů.
Tipy na související online kalkulačky
Viz také naši kalkulačku permutaci.
Viz také naši kalkulačku variací.
Chceš si dát spočítat kombinační číslo?
Viz také naši kalkulačku variací.
Chceš si dát spočítat kombinační číslo?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Účastníci turnaje
Na tenisovém turnaji se zúčastnilo 8 tenistů. Byli rozděleni do dvou skupin po čtyřech. V každé skupině hrál každý s každým jednou. Vítěz první skupiny hrál s vítězem druhé skupiny ve finále. Jiné zápasy si nehrály. Zjistěte kolik zápasů se spolu odehrálo - Turnaj
Kolik zápasů se odehraje na fotbalovém turnaji, ve kterém jsou dvě skupiny po 5 družstev, pokud se hraje ve skupinách každý s každým jeden zápas a vítězové skupin hrají zápas o celkového vítěze turnaje? - Tenis - turnaj
Na stolně tenisovém turnaji se zúčastnilo 8 hráčů. Systém turnaje je takový, že každý hráč hraje s každým jen jednou. Kolik zápasů se odehraje na tomto turnaji? - Soutěž
V soutěži bylo možné získat 0 až 5 bodu. Ve skutečnosti každý z 15 nejlepších soutěžících získal 5 bodu (které získali 5 soutěžících), nebo 4 body (které získali 10 soutěžících). Počet soutěžících, kteří získali 3 body, byl stejný jako počet soutěžících,
- Šachisté
Soutěže se zúčastnili 4 šachisté. Kolik zápasů se odehrálo pokud zápasil každý šachista s každým právě jednou? - Zaokrouhlený 82675
V základní škole každoročně pořádají znalostní soutěž, v níž každý soutěžící může získat nejvýše 15 bodů. Letos byl průměrný bodový zisk soutěžících zaokrouhlený na desetiny roven 10,4. Jožko si po soutěži uvědomil, že některé otázky si špatně přečetl a o - Na amatérském
Na amatérském šachovém turnaji hraje každý s každým. Celkem je na programu 171 šachových partií. Kolik hráčů a hráček se účastní turnaje?
