Pravděpodobnost 7627

Ve sledované skupině lidí je 8% nemocných chřipkou. Vyšetřilo se 100 lidí z této skupiny. Jaká je pravděpodobnost, že nejvýše 5 z nich bude nemocné chřipkou?
(zaokrouhlete na 3 desetinná místa)

Správná odpověď:

p =  17,9876 %

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} q=8/100=\frac{2}{25}=0,08 \\ w=1-q=1-0,08=\frac{23}{25}=0,92 \\ {C}_0(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{0}\right)=\frac{100!}{0!(100-0)!}=\frac{1}{1}=1 \\ {p}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{0}\right)\cdot q^0\cdot w^{100}=1\cdot 0,08^0\cdot 0,92^{100}\doteq 0,0002 \\ {C}_1(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{1}\right)=\frac{100!}{1!(100-1)!}=\frac{100}{1}=100 \\ {p}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{1}\right)\cdot q^1\cdot w^{99}=100\cdot 0,08^1\cdot 0,92^{99}\doteq 0,0021 \\ {C}_2(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)=\frac{100!}{2!(100-2)!}=\frac{100\cdot 99}{2\cdot 1}=4950 \\ {p}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)\cdot q^2\cdot w^{98}=4950\cdot 0,08^2\cdot 0,92^{98}\doteq 0,009 \\ {C}_3(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{3}\right)=\frac{100!}{3!(100-3)!}=\frac{100\cdot 99\cdot 98}{3\cdot 2\cdot 1}=161700 \\ {p}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{3}\right)\cdot q^3\cdot w^{97}=161700\cdot 0,08^3\cdot 0,92^{97}\doteq 0,0254 \\ {C}_4(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{4}\right)=\frac{100!}{4!(100-4)!}=\frac{100\cdot 99\cdot 98\cdot 97}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=3921225 \\ {p}_4=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{4}\right)\cdot q^4\cdot w^{96}=3921225\cdot 0,08^4\cdot 0,92^{96}\doteq 0,0536 \\ {C}_5(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{5}\right)=\frac{100!}{5!(100-5)!}=\frac{100\cdot 99\cdot 98\cdot 97\cdot 96}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=75287520 \\ {p}_5=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{5}\right)\cdot q^5\cdot w^{95}=75287520\cdot 0,08^5\cdot 0,92^{95}\doteq 0,0895 \\ p=100\cdot (p_0+p_1+p_2+p_3+p_4+p_5)=100\cdot (0,0002+0,0021+0,009+0,0254+0,0536+0,0895)=17,9876\% \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad