Geometrickou 75034

Členy 1/64, 1/32, 1/16 tvoří geometrickou posloupnost (GP) Pokud je součet GP (2³⁶ – 2^-6), najděte počet členů.

Správná odpověď:

n =  42

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1=1/64=\frac{1}{64}\doteq 0,0156 \\ {a}_2=1/32=\frac{1}{32}\doteq 0,0313 \\ q=a_2/a_1=\frac{1}{32}/\frac{1}{64}=\frac{1}{32}:\frac{1}{64}=\frac{1}{32}\cdot \frac{64}{1}=\frac{1\cdot 64}{32\cdot 1}=\frac{64}{32}=2 \\ {a}_3=q\cdot a_2=2\cdot \frac{1}{32}=\frac{2\cdot 1}{32}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}=0,0625 \\ s=2^{36}-2^{-6}\doteq 68719476735,984 \\ s=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \\ 1-\frac{s\cdot (1-q)}{a_1}=q^n \\ k=1-\frac{s\cdot (1-q)}{a_1}=1-\frac{68719476735,984\cdot (1-2)}{0,0156}=4398046511104 \\ k=16384^2=2^{42} \\ k=q^n \\ \ln k=n\cdot \ln q \\ n=\ln k/\ln q=\ln 4398046511104/\ln 2=42 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad