Posloupnosti 69904

Tři čísla, která tvoří tři za sebou následující členy aritmetické posloupnosti mají součet 60 a součin 7500. Urči tato čísla.

Správná odpověď:

a₁ =  25
b₁ =  20
c₁ =  15

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a+b+c=60 \\ b=a+d \\ c=a+2d \\ abc=7500=2^2\times 3\times 5^4 \\ a+a+d+a+2d=60 \\ a(a+d)(a+2d)=7500 \\ 3a+3d=60 \\ a(a+d)(a+2d)=7500 \\ a+d=20 \\ d=20-a \\ a(a+20-a)(a+2(20-a))=7500 \\ a\cdot 20\cdot (a+2(20-a))=7500 \\ a\cdot 20\cdot (a+2(20-a))=7500 \\ -20a^2+800a-7500=0 \\ 20a^2-800a+7500=0 \\ 20=2^2\cdot 5 \\ 800=2^5\cdot 5^2 \\ 7500=2^2\cdot 3\cdot 5^4 \\ \text{NSD}(20,800,7500)=2^2\cdot 5=20 \\ {a}^2-40a+375=0 \\ p=1;q=-40;r=375 \\ D=q^2-4pr=40^2-4\cdot 1\cdot 375=100 \\ D>0 \\ {a}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{40\pm \sqrt{100}}{2} \\ {a}_{1,2}=\frac{40\pm 10}{2} \\ {a}_{1,2}=20\pm 5 \\ {a}_1=25 \\ {a}_2=15 \\ {d}_1=20-a_1=20-25=-5 \\ {d}_2=20-a_2=20-15=5 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$b_1=a_1+d_1=25+(-5)=20$

$$\begin{gathered} c_1=b_1+d_1=20+(-5)=15 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {s}_1=a_1+b_1+c_1=25+20+15=60 \\ {p}_1=a_1\cdot b_1\cdot c_1=25\cdot 20\cdot 15=7500 \\ {b}_2=a_2+d_2=15+5=20 \\ {c}_2=b_2+d_2=20+5=25 \\ {s}_2=a_2+b_2+c_2=15+20+25=60 \\ {p}_2=a_2\cdot b_2\cdot c_2=15\cdot 20\cdot 25=7500 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad