MO Z7–I–3 2017

Zoologická zahrada nabízela školním skupinám výhodné vstupné: každý pátý žák dostává vstupenku zdarma. Pan učitel 6.A spočítal, že pokud koupí vstupné dětem ze své třídy, ušetří za čtyři vstupenky a zaplatí 1 995 Kč. Paní učitelka 6.B mu navrhla, ať koupí vstupenky dětem obou tříd naráz, a tak budou platit 4 410 Kč.

Kolik dětí z 6.A a kolik dětí z 6.B šlo do zoo? (Cena vstupenky v Kč je celočíselná.)

Správná odpověď:

a =  23
b =  29

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a\cdot c-4c=1995 \\ 4\cdot 5\le a<5\cdot 5 \\ 20\le a<25 \\ 1995=3\cdot 5\cdot 7\cdot 19 \\ 4410=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7^2 \\ \text{NSD}(1995,4410)=3\cdot 5\cdot 7=105 \\ c=NSD(1995,4410)=105 \\ {a}_1=1995/c=1995/105=19 \\ a=a_1+4=19+4=23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b_1=4410/c=4410/105=42 \\ {b}_2=\lfloor b_1/4\cdot 5\rfloor =\lfloor 42/4\cdot 5\rfloor =52 \\ b=b_2-a=52-23=29 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad