MO C - 2017

Najděte nejmenší čtyřmístné číslo abcd takové, že rozdíl (ab)2−(cd)2 je trojmístné číslo zapsané třemi stejnými číslicemi.

Pomocí vzorce (a - b) (a + b) = (a2 - b2) můžeme rozdíl (ab)2 − (cd)2 přepsat jako (ab + cd) (ab - cd). Protože rozdíl je trojciferný, musí být ab + cd a ab - cd obě dvouciferná. Zároveň musí platit ab > cd. Nejmenší možné hodnoty jsou tedy ab + cd = 101 a ab - cd = 11. Řešením soustavy rovnic jsou hodnoty ab = 56 a cd = 45. Nejmenší čtyřmístné číslo splňující podmínku je tedy 5645.

Přeji pěkný den!