Pravoúhlý trojúhelník kalkulačka (a,r)

Zadané odvěsna a a poloměr vepsané kružnice r.

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14
b = 22,5
c = 26,5

Obsah trojúhelníku: S = 157,5
Obvod trojúhelníku: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5

Úhel ∠ A = α = 31,89107918018° = 31°53'27″ = 0,5576599318 rad
Úhel ∠ B = β = 58,10992081982° = 58°6'33″ = 1,01441970088 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 22,5
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,88767924528

Těžnice: t_a = 23,56437433359
Těžnice: t_b = 17,96600250557
Těžnice: t_c = 13,25

Úsek c_a = 19,10437735849
Úsek c_b = 7,39662264151

Poloměr vepsané kružnice: r = 5
Poloměr opsané kružnice: R = 13,25

Souřadnice vrcholů: A[26,5; 0] B[0; 0] C[7,39662264151; 11,88767924528]
Těžiště: T[11,29987421384; 3,96222641509]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,25; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 5]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,10992081982° = 148°6'33″ = 0,5576599318 rad
∠ B' = β' = 121,89107918019° = 121°53'27″ = 1,01441970088 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: odvěsna a a poloměr vepsané kružnice r

a = 14 r = 5

2. Z odvěsny a a poloměr vepsané kružnice r vypočítáme odvěsnu b:

b = \frac{2 r ( a - r )}{a - 2 r} b = \frac{2 \cdot 5 \cdot ( 1 4 - 5 )}{1 4 - 2 \cdot 5} = 22, 5

3. Z odvěsny a a odvěsny b vypočítáme přeponu c - Pythagorova věta:

c^{2} = a^{2} + b^{2} c = a^{2} + b^{2} = 1 4^{2} + 22, 5^{2} = 702, 25 = 26, 5

4. Z přepony c a poloměr vepsané kružnice r vypočítáme obsah S:

S = r (c + r) = 5 (26, 5 + 5) = 157, 5

5. Z obsahu S a přepony c vypočítáme h:

S = \frac{c \cdot h}{2} h = 2 \cdot S / c = 2 \cdot 157, 5 / 26, 5 = 11, 887

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran (SSS).

a = 14 b = 22, 5 c = 26, 5

6. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14 + 22, 5 + 26, 5 = 63

7. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 3}{2} = 31, 5

8. Obsah trojúhelníku

S = \frac{a b}{2} = \frac{1 4 \cdot 2 2 , 5}{2} = 157, 5

9. Výpočet výšek pravoúhlého trojúhelníku z jeho obsahu.

10. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku - základní použití sinus funkce

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{1 4}{2 6 , 5}) = 31 ° 5 3^{'} 27 " sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{2 2 , 5}{2 6 , 5}) = 58 ° 6^{'} 33 " γ = 90 °

11. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 7 , 5}{3 1 , 5} = 5

12. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{c}{2} = \frac{2 6 , 5}{2} = 13, 25

13. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 22, 5^{2} + (14 / 2)^{2} = 23, 564 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 1 4^{2} + (22, 5 / 2)^{2} = 17, 96 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{2 6 , 5}{2} = 13, 25

Vypočítat další trojúhelník