Pravoúhlý trojúhelník kalkulačka (S,a)

Zadané odvěsna a a obsah S.

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 45
b = 28
c = 53

Obsah trojúhelníku: S = 630
Obvod trojúhelníku: o = 126
Semiperimeter (poloobvod): s = 63

Úhel ∠ A = α = 58,10992081982° = 58°6'33″ = 1,01441970088 rad
Úhel ∠ B = β = 31,89107918018° = 31°53'27″ = 0,5576599318 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 28
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 45
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 23,77435849057

Těžnice: t_a = 35,92200501113
Těžnice: t_b = 47,12774866718
Těžnice: t_c = 26,5

Úsek c_a = 14,79224528302
Úsek c_b = 38,20875471698

Poloměr vepsané kružnice: r = 10
Poloměr opsané kružnice: R = 26,5

Souřadnice vrcholů: A[53; 0] B[0; 0] C[38,20875471698; 23,77435849057]
Těžiště: T[30,40325157233; 7,92545283019]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[26,5; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[35; 10]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,89107918019° = 121°53'27″ = 1,01441970088 rad
∠ B' = β' = 148,10992081982° = 148°6'33″ = 0,5576599318 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: odvěsna a a obsah S

a = 45 S = 630

2. Z obsahu S a odvěsny a vypočítáme odvěsnu b:

S = \frac{a b}{2} b = 2 S / a = 2 \cdot 630 / 45 = 28

3. Z odvěsny a a odvěsny b vypočítáme přeponu c - Pythagorova věta:

c^{2} = a^{2} + b^{2} c = a^{2} + b^{2} = 4 5^{2} + 2 8^{2} = 2809 = 53

4. Z obsahu S a přepony c vypočítáme h:

S = \frac{c \cdot h}{2} h = 2 \cdot S / c = 2 \cdot 630 / 53 = 23, 774

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran (SSS).

a = 45 b = 28 c = 53

5. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 45 + 28 + 53 = 126

6. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 6}{2} = 63

7. Obsah trojúhelníku

S = \frac{a b}{2} = \frac{4 5 \cdot 2 8}{2} = 630

8. Výpočet výšek pravoúhlého trojúhelníku z jeho obsahu.

9. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku - základní použití sinus funkce

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{4 5}{5 3}) = 58 ° 6^{'} 33 " sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{2 8}{5 3}) = 31 ° 5 3^{'} 27 " γ = 90 °

10. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 3 0}{6 3} = 10

11. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{c}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

12. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 2 8^{2} + (45 / 2)^{2} = 35, 92 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 4 5^{2} + (28 / 2)^{2} = 47, 127 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

Vypočítat další trojúhelník