Trojuholník 5 7 10




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 7
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 16,24880768093
Obvod trojuholníka: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Uhol ∠ A = α = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Uhol ∠ B = β = 40,53658021113° = 40°32'9″ = 0,70774832118 rad
Uhol ∠ C = γ = 111,80437479894° = 111°48'13″ = 1,95113435185 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,49992307237
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,64223076598
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,25496153619

Ťažnica: ta = 8,26113558209
Ťažnica: tb = 7,08987234394
Ťažnica: tc = 3,46441016151

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,47770978918
Polomer opísanej kružnice: R = 5,38552527303

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[3,8; 3,25496153619]
Ťažisko: T[4,6; 1,08332051206]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -22,0002367284]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,47770978918]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ B' = β' = 139,46441978887° = 139°27'51″ = 0,70774832118 rad
∠ C' = γ' = 68,19662520106° = 68°11'47″ = 1,95113435185 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=7 c=10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=5+7+10=22

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o​=222​=11

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11(11−5)(11−7)(11−10) S=11⋅ 6⋅ 4⋅ 1 S=264=16,248S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 11(11-5)(11-7)(11-10) } \ \\ S = \sqrt{ 11 \cdot \ 6 \cdot \ 4 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 264 } = 16{,}248

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 16,2485=6,499 vb=2 Sb=2⋅ 16,2487=4,642 vc=2 Sc=2⋅ 16,24810=3,25S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 16{,}248 }{ 5 } = 6{,}499 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 16{,}248 }{ 7 } = 4{,}642 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 16{,}248 }{ 10 } = 3{,}25

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−52​)=27°39′38"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 5⋅ 1052+102−72​)=40°32′9" γ=180°−α−β=180°−27°39′38"−40°32′9"=111°48′13"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=16,24811=1,477S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 16{,}248 }{ 11 } = 1{,}477

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=5⋅ 7⋅ 104⋅ 1,477⋅ 11=5,385R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 7 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 1{,}477 \cdot \ 11 } = 5{,}385

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 72+2⋅ 102−522=8,261 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 102+2⋅ 52−722=7,089 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 52+2⋅ 72−1022=3,464t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 10^2 - 5^2 } }{ 2 } = 8{,}261 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 5^2 - 7^2 } }{ 2 } = 7{,}089 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 7^2 - 10^2 } }{ 2 } = 3{,}464

Vypočítať ďaľší trojuholník