Trojuholník 5 6 10




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 6
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 11,39990131152
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Uhol ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Uhol ∠ B = β = 27,12767531173° = 27°7'36″ = 0,47334511573 rad
Uhol ∠ C = γ = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 2,27883807635 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 4,56596052461
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,87996710384
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,2879802623

Ťažnica: ta = 7,85881168228
Ťažnica: tb = 7,31443694192
Ťažnica: tc = 2,34552078799

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,08656202967
Polomer opísanej kružnice: R = 6,58795169496

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[4,45; 2,2879802623]
Ťažisko: T[4,81766666667; 0,76599342077]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -4,27766860172]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,08656202967]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 152,87332468827° = 152°52'24″ = 0,47334511573 rad
∠ C' = γ' = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 2,27883807635 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=6 c=10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=5+6+10=21

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=212=10,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 21 }{ 2 } = 10{,}5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=10,5(10,55)(10,56)(10,510) S=10,5 5,5 4,5 0,5 S=129,94=11,399S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 10{,}5(10{,}5-5)(10{,}5-6)(10{,}5-10) } \ \\ S = \sqrt{ 10{,}5 \cdot \ 5{,}5 \cdot \ 4{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 129{,}94 } = 11{,}399

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 11,3995=4,56 vb=2 Sb=2 11,3996=3,8 vc=2 Sc=2 11,39910=2,28S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}399 }{ 5 } = 4{,}56 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}399 }{ 6 } = 3{,}8 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}399 }{ 10 } = 2{,}28

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 6 1062+10252)=22°1954"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 5 1052+10262)=27°736" γ=180°αβ=180°22°1954"27°736"=130°3230"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=11,39910,5=1,086S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 11{,}399 }{ 10{,}5 } = 1{,}086

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=5 6 104 1,086 10,5=6,58R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 6 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 1{,}086 \cdot \ 10{,}5 } = 6{,}58

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 62+2 102522=7,858 tb=2c2+2a2b22=2 102+2 52622=7,314 tc=2a2+2b2c22=2 52+2 621022=2,345t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 10^2 - 5^2 } }{ 2 } = 7{,}858 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 5^2 - 6^2 } }{ 2 } = 7{,}314 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 6^2 - 10^2 } }{ 2 } = 2{,}345

Vypočítať ďaľší trojuholník