Trojuholník 5 5 5

Rovnostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 5
c = 5

Obsah trojuholníka: S = 10,82553175473
Obvod trojuholníka: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5

Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 60° = 1,04771975512 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4,33301270189
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,33301270189
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,33301270189

Ťažnica: t_a = 4,33301270189
Ťažnica: t_b = 4,33301270189
Ťažnica: t_c = 4,33301270189

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,4433375673
Polomer opísanej kružnice: R = 2,88767513459

Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[2,5; 4,33301270189]
Ťažisko: T[2,5; 1,4433375673]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,5; 1,4433375673]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,4433375673]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 120° = 1,04771975512 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 5 c = 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 5 + 5 = 15

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 15 }{ 2 } = 7{,}5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 7{,}5(7{,}5-5)(7{,}5-5)(7{,}5-5) } \ \\ S = \sqrt{ 7{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 2{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 117{,}19 } = 10{,}825

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 10{,}825 }{ 5 } = 4{,}33 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 10{,}825 }{ 5 } = 4{,}33 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 10{,}825 }{ 5 } = 4{,}33

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5}) = 60 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5}) = 60 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° - 60 ° = 60 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 10{,}825 }{ 7{,}5 } = 1{,}443

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 5 \cdot \ 5 }{ 4 \cdot \ 1{,}443 \cdot \ 7{,}5 } = 2{,}887

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 5^2 - 5^2 } }{ 2 } = 4{,}33 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 5^2 - 5^2 } }{ 2 } = 4{,}33 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 5^2 - 5^2 } }{ 2 } = 4{,}33

Vypočítať ďaľší trojuholník