Trojuholník 4 8 11




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 4
b = 8
c = 11

Obsah trojuholníka: S = 12,28656623753
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Uhol ∠ A = α = 16,2143633496° = 16°12'49″ = 0,28329812882 rad
Uhol ∠ B = β = 33,9487926527° = 33°56'53″ = 0,59325030921 rad
Uhol ∠ C = γ = 129,8388439977° = 129°50'18″ = 2,26661082733 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,14328311877
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,07114155938
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,23437567955

Ťažnica: ta = 9,40774438611
Ťažnica: tb = 7,24656883731
Ťažnica: tc = 3,12224989992

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,06883184674
Polomer opísanej kružnice: R = 7,16328209625

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,31881818182; 2,23437567955]
Ťažisko: T[4,77327272727; 0,74545855985]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -4,58986821791]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,06883184674]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,7866366504° = 163°47'11″ = 0,28329812882 rad
∠ B' = β' = 146,0522073473° = 146°3'7″ = 0,59325030921 rad
∠ C' = γ' = 50,1621560023° = 50°9'42″ = 2,26661082733 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=8 c=11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=4+8+11=23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=232=11,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 23 }{ 2 } = 11{,}5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−4)(11,5−8)(11,5−11) S=11,5⋅ 7,5⋅ 3,5⋅ 0,5 S=150,94=12,286S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5(11{,}5-4)(11{,}5-8)(11{,}5-11) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5 \cdot \ 7{,}5 \cdot \ 3{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 150{,}94 } = 12{,}286

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 12,2864=6,143 vb=2 Sb=2⋅ 12,2868=3,071 vc=2 Sc=2⋅ 12,28611=2,234S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 12{,}286 }{ 4 } = 6{,}143 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 12{,}286 }{ 8 } = 3{,}071 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 12{,}286 }{ 11 } = 2{,}234

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−42​)=16°12′49"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−82​)=33°56′53" γ=180°−α−β=180°−16°12′49"−33°56′53"=129°50′18"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=12,28611,5=1,068S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 12{,}286 }{ 11{,}5 } = 1{,}068

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=4⋅ 8⋅ 114⋅ 1,068⋅ 11,5=7,163R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 8 \cdot \ 11 }{ 4 \cdot \ 1{,}068 \cdot \ 11{,}5 } = 7{,}163

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 82+2⋅ 112−422=9,407 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 112+2⋅ 42−822=7,246 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 42+2⋅ 82−1122=3,122t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 11^2 - 4^2 } }{ 2 } = 9{,}407 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 4^2 - 8^2 } }{ 2 } = 7{,}246 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 8^2 - 11^2 } }{ 2 } = 3{,}122

Vypočítať ďaľší trojuholník