Trojuholník 4 8 10




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 4
b = 8
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 15,19986841536
Obvod trojuholníka: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Uhol ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Uhol ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,88986200307 rad

Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,59993420768
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,87996710384
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,04397368307

Ťažnica: ta = 8,83217608663
Ťažnica: tb = 6,48107406984
Ťažnica: tc = 3,87329833462

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,38216985594
Polomer opísanej kružnice: R = 5,26436135597

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[2,6; 3,04397368307]
Ťažisko: T[4,2; 1,01332456102]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -1,64548792374]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,38216985594]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,88986200307 rad


Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=8 c=10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=4+8+10=22

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o​=222​=11

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11(11−4)(11−8)(11−10) S=11⋅ 7⋅ 3⋅ 1 S=231=15,199S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 11(11-4)(11-8)(11-10) } \ \\ S = \sqrt{ 11 \cdot \ 7 \cdot \ 3 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 231 } = 15{,}199

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 15,1994=7,599 vb=2 Sb=2⋅ 15,1998=3,8 vc=2 Sc=2⋅ 15,19910=3,04S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 15{,}199 }{ 4 } = 7{,}599 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 15{,}199 }{ 8 } = 3{,}8 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 15{,}199 }{ 10 } = 3{,}04

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−42​)=22°19′54"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 4⋅ 1042+102−82​)=49°27′30" γ=180°−α−β=180°−22°19′54"−49°27′30"=108°12′36"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=15,19911=1,382S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 15{,}199 }{ 11 } = 1{,}382

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=4⋅ 8⋅ 104⋅ 1,382⋅ 11=5,264R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 8 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 1{,}382 \cdot \ 11 } = 5{,}264

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 82+2⋅ 102−422=8,832 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 102+2⋅ 42−822=6,481 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 42+2⋅ 82−1022=3,873t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 10^2 - 4^2 } }{ 2 } = 8{,}832 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 4^2 - 8^2 } }{ 2 } = 6{,}481 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 8^2 - 10^2 } }{ 2 } = 3{,}873

Vypočítať ďaľší trojuholník