Student

Student má udělat test, který obsahuje 10 otázek. U každé z nich vybírá jednu z 5 odpovědí, přičemž právě jedna je správná. Student se na test nepřipravil, a proto odpovědi volí náhodně. Jaké jsou pravděpodobnosti, že student zodpoví správně:
a) nejvýše 3 otázky
b) alespoň 4 otázky
c) všech 10 otázek

Správná odpověď:

a =  0,8791
b =  0,1209
c =  0

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} n=10 \\ p=1/5=\frac{1}{5}=0,2 \\ {p}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot p^0\cdot (1-p{)}^{n-0}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0})\cdot 0,2^0\cdot (1-0,2{)}^{10-0}=1\cdot 0,2^0\cdot 0,8^{10}\doteq 0,1074 \\ {p}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\cdot p^1\cdot (1-p{)}^{n-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1})\cdot 0,2^1\cdot (1-0,2{)}^{10-1}=10\cdot 0,2^1\cdot 0,8^9\doteq 0,2684 \\ {p}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot p^2\cdot (1-p{)}^{n-2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2})\cdot 0,2^2\cdot (1-0,2{)}^{10-2}=45\cdot 0,2^2\cdot 0,8^8\doteq 0,302 \\ {p}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)\cdot p^3\cdot (1-p{)}^{n-3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})\cdot 0,2^3\cdot (1-0,2{)}^{10-3}=120\cdot 0,2^3\cdot 0,8^7\doteq 0,2013 \\ a=p_0+p_1+p_2+p_3=0,1074+0,2684+0,302+0,2013=0,8791 \end{gathered}$$

$b=1-a=1-0,8791=0,1209$

$c=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{10}\right)\cdot p^{10}\cdot (1-p{)}^{n-10}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{10})\cdot 0,2^{10}\cdot (1-0,2{)}^{10-10}=1\cdot 0,2^{10}\cdot 0,8^0=0$

Zkusit jiný příklad