Budeme

Budeme pracovat se třídou, ve které je 30 žáků, 40% z nich jsou chlapci, počet lavic je 18. Určete počty možností v následujících zadáních.

1) Určete, kolika možnostmi lze vybrat do soutěže trojici žáků, pokud není určeno, kolik je chlapců a kolik děvčat.

2) Určete, kolika možnostmi lze žáky ve třídě rozesadit, pokud je všem jedno, kde sedí.

3) Určete, kolika způsoby lze žáky rozesadit, pokud sedí společně vždy jen děvčata nebo chlapci.

4) Určete, kolika způsoby lze vybrat třídní samosprávu, složenou z předsedy, místopředsedy, pokladníka.

Správná odpověď:

n₁ =  4060
n₂ =  105
n₃ =  219
n₄ =  24360

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} C_3(30)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3}\right)=\frac{30!}{3!(30-3)!}=\frac{30\cdot 29\cdot 28}{3\cdot 2\cdot 1}=4060 \\ n=30 \\ q=40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}=0,4 \\ c=q\cdot n=0,4\cdot 30=12 \\ d=n-c=30-12=18 \\ l=18 \\ {n}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)=4060 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C_2(15)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{2}\right)=\frac{15!}{2!(15-2)!}=\frac{15\cdot 14}{2\cdot 1}=105 \\ l>n/2 \\ {n}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n/2}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30/2}{2}\right)=105 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C_2(18)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}\right)=\frac{18!}{2!(18-2)!}=\frac{18\cdot 17}{2\cdot 1}=153 \\ {C}_2(12)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2}\right)=\frac{12!}{2!(12-2)!}=\frac{12\cdot 11}{2\cdot 1}=66 \\ {n}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{2}\right)=153+66=219 \end{gathered}$$

$n_4=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)=30\cdot (30-1)\cdot (30-2)=24360$

Zkusit jiný příklad