Pravděpodobnost 32411

Lékařská literatura uvádí, že 45 % mužů trpí alopecií. Pro náhodný vzorek 8 mužů vypočítejte pravděpodobnost, že:
a) přesně čtyři muži trpí alopecií.
b) nejvýše dva muži trpí alopecií.

Správná odpověď:

p₄ =  0,2627
p =  0,2201

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} C_4(8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=\frac{8!}{4!(8-4)!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70 \\ q=45\%=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}=0,45 \\ n=8 \\ {p}_4=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)\cdot q^4\cdot (1-q{)}^{n-4}=70\cdot 0,45^4\cdot (1-0,45{)}^{8-4}=0,2627 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C_0(8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)=\frac{8!}{0!(8-0)!}=\frac{1}{1}=1 \\ {C}_1(8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)=\frac{8!}{1!(8-1)!}=\frac{8}{1}=8 \\ {C}_2(8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=\frac{8!}{2!(8-2)!}=\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=28 \\ {p}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot q^0\cdot (1-q{)}^{n-0}=1\cdot 0,45^0\cdot (1-0,45{)}^{8-0}\doteq 0,0084 \\ {p}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\cdot q^1\cdot (1-q{)}^{n-1}=8\cdot 0,45^1\cdot (1-0,45{)}^{8-1}\doteq 0,0548 \\ {p}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot q^2\cdot (1-q{)}^{n-2}=28\cdot 0,45^2\cdot (1-0,45{)}^{8-2}\doteq 0,1569 \\ p=p_0+p_1+p_2=0,0084+0,0548+0,1569=0,2201 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad