Komplexní čísla kalkulačka

Existuje 6 řešení, v důsledku “Základní věty algebry“. Váš výraz obsahuje druhé (a výše) odmocniny z komplexního čísla resp. umocnění na 1/n.

z₁ = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = 2,439233+0,9434225i = 2,615321 × e^{i 0,3690496} = 2,615321 × e^{i 0,1174721 π} Kroky výpočtu hlavní kořen

Komplexní číslo: 1+2i
Dělení: 1 / 3 = 1/1 · 1/3 = 1 · 1/1 · 3 = 1/3 = 0,33333333
Dělení dvou zlomků je stejné jako vynásobení prvního zlomku reciprokou hodnotou druhého zlomku. Prvním dílčím krokem je nalezení reciproké hodnoty (výměna čitatele a jmenovatele, převrácená hodnota 3/1 je 1/3) druhého zlomku. Dále vynásobte dva čitatele. Pak vynásobte dva jmenovatele. Dělení zlomků je vlastně násobení převráceným zlomkem. V dalším mezikroku výslední zlomek není možné dále zjednodušit krácením.
Třetí odmocnina: ∛(výsledek kroku č. 1) = ∛(1+2i) = 1,2196165+0,4717113i
Druhá odmocnina: sqrt(4) = √ 4 = 2
Násobení: výsledek kroku č. 3 * výsledek kroku č. 4 = (1,2196165+0,4717113i) * 2 = 2,439233+0,9434225i

Výsledek z₁

Algebraický tvar:
z = 2,439233+0,9434225i

Fázor (modul a argument):
z = 2,615321 ∠ 21°8'42″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos 21°8'42″ + i sin 21°8'42″)

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × e^{i 0,3690496} = 2,615321 × e^{i 0,1174721 π}

Polární souřadnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolutní hodnota (modul)
θ = arg z = 0,3690496 rad = 21,14498° = 21°8'42″ = 0,1174721π rad ... úhel (argument nebo fáze)

Kartézské souřadnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,439233+0,9434225i
Reálná část: x = Re z = 2,439
Imaginární část: y = Im z = 0,94342254

z₂ = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = -2,0366444+1,6407265i = 2,615321 × e^{i 2,4634447} = 2,615321 × e^{i 0,7841388 π} Kroky výpočtu

Komplexní číslo: 1+2i
Dělení: 1 / 3 = 1/1 · 1/3 = 1 · 1/1 · 3 = 1/3 = 0,33333333
Dělení dvou zlomků je stejné jako vynásobení prvního zlomku reciprokou hodnotou druhého zlomku. Prvním dílčím krokem je nalezení reciproké hodnoty (výměna čitatele a jmenovatele, převrácená hodnota 3/1 je 1/3) druhého zlomku. Dále vynásobte dva čitatele. Pak vynásobte dva jmenovatele. Dělení zlomků je vlastně násobení převráceným zlomkem. V dalším mezikroku výslední zlomek není možné dále zjednodušit krácením.
Třetí odmocnina: ∛(výsledek kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -1,0183222+0,8203632i
Druhá odmocnina: sqrt(4) = √ 4 = 2
Násobení: výsledek kroku č. 3 * výsledek kroku č. 4 = (-1,0183222+0,8203632i) * 2 = -2,0366444+1,6407265i

Výsledek z₂

Algebraický tvar:
z = -2,0366444+1,6407265i

Fázor (modul a argument):
z = 2,615321 ∠ 141°8'42″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos 141°8'42″ + i sin 141°8'42″)

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × e^{i 2,4634447} = 2,615321 × e^{i 0,7841388 π}

Polární souřadnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolutní hodnota (modul)
θ = arg z = 2,4634447 rad = 141,14498° = 141°8'42″ = 0,7841388π rad ... úhel (argument nebo fáze)

Kartézské souřadnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,0366444+1,6407265i
Reálná část: x = Re z = -2,037
Imaginární část: y = Im z = 1,6407265

z₃ = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = -0,4025886-2,584149i = 2,615321 × e^{i -1,7253455} = 2,615321 × e^{i (-0,5491945) π} Kroky výpočtu

Komplexní číslo: 1+2i
Dělení: 1 / 3 = 1/1 · 1/3 = 1 · 1/1 · 3 = 1/3 = 0,33333333
Dělení dvou zlomků je stejné jako vynásobení prvního zlomku reciprokou hodnotou druhého zlomku. Prvním dílčím krokem je nalezení reciproké hodnoty (výměna čitatele a jmenovatele, převrácená hodnota 3/1 je 1/3) druhého zlomku. Dále vynásobte dva čitatele. Pak vynásobte dva jmenovatele. Dělení zlomků je vlastně násobení převráceným zlomkem. V dalším mezikroku výslední zlomek není možné dále zjednodušit krácením.
Třetí odmocnina: ∛(výsledek kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -0,2012943-1,2920745i
Druhá odmocnina: sqrt(4) = √ 4 = 2
Násobení: výsledek kroku č. 3 * výsledek kroku č. 4 = (-0,2012943-1,2920745i) * 2 = -0,4025886-2,584149i

Výsledek z₃

Algebraický tvar:
z = -0,4025886-2,584149i

Fázor (modul a argument):
z = 2,615321 ∠ -98°51'18″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos (-98°51'18″) + i sin (-98°51'18″))

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × e^{i -1,7253455} = 2,615321 × e^{i (-0,5491945) π}

Polární souřadnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolutní hodnota (modul)
θ = arg z = -1,7253455 rad = -98,85502° = -98°51'18″ = -0,5491945π rad ... úhel (argument nebo fáze)

Kartézské souřadnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -0,4025886-2,584149i
Reálná část: x = Re z = -0,403
Imaginární část: y = Im z = -2,58414903

z₄ = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = -2,439233-0,9434225i = 2,615321 × e^{i -2,7725431} = 2,615321 × e^{i (-0,8825279) π} Kroky výpočtu

Komplexní číslo: 1+2i
Dělení: 1 / 3 = 1/1 · 1/3 = 1 · 1/1 · 3 = 1/3 = 0,33333333
Dělení dvou zlomků je stejné jako vynásobení prvního zlomku reciprokou hodnotou druhého zlomku. Prvním dílčím krokem je nalezení reciproké hodnoty (výměna čitatele a jmenovatele, převrácená hodnota 3/1 je 1/3) druhého zlomku. Dále vynásobte dva čitatele. Pak vynásobte dva jmenovatele. Dělení zlomků je vlastně násobení převráceným zlomkem. V dalším mezikroku výslední zlomek není možné dále zjednodušit krácením.
Třetí odmocnina: ∛(výsledek kroku č. 1) = ∛(1+2i) = 1,2196165+0,4717113i
Druhá odmocnina: sqrt(4) = √ 4 = -2
Násobení: výsledek kroku č. 3 * výsledek kroku č. 4 = (1,2196165+0,4717113i) * (-2) = -2,439233-0,9434225i

Výsledek z₄

Algebraický tvar:
z = -2,439233-0,9434225i

Fázor (modul a argument):
z = 2,615321 ∠ -158°51'18″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos (-158°51'18″) + i sin (-158°51'18″))

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × e^{i -2,7725431} = 2,615321 × e^{i (-0,8825279) π}

Polární souřadnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolutní hodnota (modul)
θ = arg z = -2,7725431 rad = -158,85502° = -158°51'18″ = -0,8825279π rad ... úhel (argument nebo fáze)

Kartézské souřadnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,439233-0,9434225i
Reálná část: x = Re z = -2,439
Imaginární část: y = Im z = -0,94342254

z₅ = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = 2,0366444-1,6407265i = 2,615321 × e^{i -0,678148} = 2,615321 × e^{i (-0,2158612) π} Kroky výpočtu

Komplexní číslo: 1+2i
Dělení: 1 / 3 = 1/1 · 1/3 = 1 · 1/1 · 3 = 1/3 = 0,33333333
Dělení dvou zlomků je stejné jako vynásobení prvního zlomku reciprokou hodnotou druhého zlomku. Prvním dílčím krokem je nalezení reciproké hodnoty (výměna čitatele a jmenovatele, převrácená hodnota 3/1 je 1/3) druhého zlomku. Dále vynásobte dva čitatele. Pak vynásobte dva jmenovatele. Dělení zlomků je vlastně násobení převráceným zlomkem. V dalším mezikroku výslední zlomek není možné dále zjednodušit krácením.
Třetí odmocnina: ∛(výsledek kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -1,0183222+0,8203632i
Druhá odmocnina: sqrt(4) = √ 4 = -2
Násobení: výsledek kroku č. 3 * výsledek kroku č. 4 = (-1,0183222+0,8203632i) * (-2) = 2,0366444-1,6407265i

Výsledek z₅

Algebraický tvar:
z = 2,0366444-1,6407265i

Fázor (modul a argument):
z = 2,615321 ∠ -38°51'18″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos (-38°51'18″) + i sin (-38°51'18″))

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × e^{i -0,678148} = 2,615321 × e^{i (-0,2158612) π}

Polární souřadnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolutní hodnota (modul)
θ = arg z = -0,678148 rad = -38,85502° = -38°51'18″ = -0,2158612π rad ... úhel (argument nebo fáze)

Kartézské souřadnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,0366444-1,6407265i
Reálná část: x = Re z = 2,037
Imaginární část: y = Im z = -1,6407265

z₆ = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = 0,4025886+2,584149i = 2,615321 × e^{i 1,4162471} = 2,615321 × e^{i 0,4508055 π} Kroky výpočtu

Komplexní číslo: 1+2i
Dělení: 1 / 3 = 1/1 · 1/3 = 1 · 1/1 · 3 = 1/3 = 0,33333333
Dělení dvou zlomků je stejné jako vynásobení prvního zlomku reciprokou hodnotou druhého zlomku. Prvním dílčím krokem je nalezení reciproké hodnoty (výměna čitatele a jmenovatele, převrácená hodnota 3/1 je 1/3) druhého zlomku. Dále vynásobte dva čitatele. Pak vynásobte dva jmenovatele. Dělení zlomků je vlastně násobení převráceným zlomkem. V dalším mezikroku výslední zlomek není možné dále zjednodušit krácením.
Třetí odmocnina: ∛(výsledek kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -0,2012943-1,2920745i
Druhá odmocnina: sqrt(4) = √ 4 = -2
Násobení: výsledek kroku č. 3 * výsledek kroku č. 4 = (-0,2012943-1,2920745i) * (-2) = 0,4025886+2,584149i

Výsledek z₆

Algebraický tvar:
z = 0,4025886+2,584149i

Fázor (modul a argument):
z = 2,615321 ∠ 81°8'42″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos 81°8'42″ + i sin 81°8'42″)

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × e^{i 1,4162471} = 2,615321 × e^{i 0,4508055 π}

Polární souřadnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolutní hodnota (modul)
θ = arg z = 1,4162471 rad = 81,14498° = 81°8'42″ = 0,4508055π rad ... úhel (argument nebo fáze)

Kartézské souřadnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 0,4025886+2,584149i
Reálná část: x = Re z = 0,403
Imaginární část: y = Im z = 2,58414903

Tato kalkulačka poskytuje služby výpočtu a vyhodnocení výrazů v množině komplexních čísel. Imaginární jednotka je označena jako i nebo j (zejména v elektrotechnice); splňuje rovnici i² = -1 nebo j² = -1. Kalkulačka má také konverzi komplexního čísla do goniometrického, exponenciálního tvaru nebo do polárních souřadnic. Zadejte výraz s komplexními čísly, jako například 5*(1+i)(-2-5i)^2

Komplexní čísla ve verzorovom tvaru (polární souřadnice r,θ) zadávejte ve tvaru rLθ např. 5L65, což je totéž jako 5*cis(65°).
Příklad násobení dvou čísel ve verzorovom tvaru: 10L45 * 3L90.

Pro použití ve školství např. výpočtech střídavých proudů na střední odborné škole potřebujete rychlou a jasnou komplexní kalkulačku.

Základní operace s komplexními čísly

Doufáme, že práce s komplexním číslem je celkem snadná, protože můžete pracovat s pomyslnou jednotkou i jako s proměnnou. A použijte definici i ² = -1 na zjednodušení složitých výrazů. Mnoho operací je stejných jako operace s dvojrozměrnými vektory.

Sčítání

Velmi jednoduché, sečtěte reálné části (bez i) a imaginární části (ty s i):
Toto se rovná použití pravidla: (a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i
(1+i) + (6-5i) = 7-4i
12 + 6-5i = 18-5i
(10-5i) + (-5+5i) = 5

Odčítání

Opět velmi jednoduché, odečtěte reálné části a odečtěte imaginární části (ty s i):
Toto se rovná použití pravidla: (a + b i ) + (c + d i ) = (a-c) + (b-d) i
(1+i) - (3-5i) = -2+6i
-1/2 - (6-5i) = -6.5+5i
(10-5i) - (-5+5i) = 15-10i

Násobení

Chcete-li vynásobit dvě komplexní čísla, použijte distribuční pravidlo, slučte se dvoučlenné a použijte i ² = -1 .
Toto se rovná použití pravidla: (a + b i ) (c + d i ) = (ac-bd) + (ad + bc) i
(1+i) (3+5i) = 1*3+1*5i+i*3+i*5i = 3+5i+3i-5 = -2+8i
-1/2 * (6-5i) = -3+2.5i
(10-5i) * (-5+5i) = -25+75i

Dělení

Dělení dvou komplexních čísel lze dosáhnout vynásobením čitatele a jmenovatele komplexně sdruženým jmenovatelem. Odstraníme tak imaginární jednotku i ve jmenovateli. Pokud je jmenovatel c + d i , udělejte to bez i (nebo ho udělejte reálným), stačí vynásobit komplexně sdruženým jmenovatelem tj. c-d i :
(d + d i) (c-d i ) = c ² + d ²

\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{( a + b i ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{a c + b d + i ( b c - a d )}{c ^{2} + d ^{2}} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i

(10-5i) / (1+i) = 2.5-7.5i
-3 / (2-i) = -1.2-0.6i
6i / (4+3i) = 0.72+0.96i

Absolutní hodnota nebo modul

Absolutní hodnota nebo modul je vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku v rovině. Kalkulačka používá ke zjištění této vzdálenosti Pythagorovu větu. Velmi jednoduché, viz příklady: |3+4i| = 5
|1-i| = 1.4142136
|6i| = 6
abs(2+5i) = 5.3851648

Druhá odmocnina

Druhá odmocnina komplexního čísla (a + bi) je z, jestliže z ² = (a + bi). Zde končí jednoduchost. Kvůli základní větě algebry budete mít pro dané číslo vždy dvě různé druhé odmocniny. Chcete-li zjistit možné hodnoty, nejjednodušším způsobem je pravděpodobně použít De Moivrove pravidlo (vzorec). Druhá odmocnina není jednoznačně definována funkce pro komplexní číslo. Vypočítáme proto všechny komplexní druhé resp. výše odmocniny (kořeny) z libovolného čísla - dokonce i ve výrazech:
sqrt(9i) = 2.1213203+2.1213203i
sqrt(10-6i) = 3.2910412-0.9115656i
pow(-32,1/5)/5 = -0.4
pow(1+2i,1/3)*sqrt(4) = 2.439233+0.9434225i
pow(-5i,1/8)*pow(8,1/3) = 2.3986959-0.4771303i

Druhá mocnina, čtverec, mocnina, komplexní umocňování

Naše kalkulačka dokáže umocňovat jakékoliv komplexní číslo na celé číslo (kladné, záporné), reálné nebo dokonce komplexní číslo. Jinými slovy, vypočítáme "komplexní číslo na komplexní mocninu"
Viz příklad:

i^{i} = e^{- π / 2}

i^2 = -1
i^61 = i
(6-2i)^6 = -22528-59904i
(6-i)^4.5 = 2486.1377428-2284.5557378i
(6-5i)^(-3+32i) = 2929449.0399425-9022199.5826224i
i^i = 0.2078795764
pow(1+i,3) = -2+2i

Funkce

sqrt: Druhá odmocnina hodnoty nebo výrazu.
sin: sinus hodnoty nebo výrazu. Autodetekce radiánů / stupňů.
cos: kosinus hodnoty nebo výrazu. Autodetekce radiánů / stupňů.
tan / tg: tangens hodnoty nebo výrazu. Autodetekce radiánů / stupňů.
exp: e (Eulerova konstanta) umocněna na výrazu, exponenciála
pow: Mocnina jednoho komplexního čísla na jiné celé číslo / reálné / komplexní číslo
ln: Přirozený logaritmus hodnoty nebo výrazu
log: logaritmus hodnoty nebo výrazu základu-10
abs nebo | 1 + i |: Absolutní hodnota hodnoty nebo výrazu
fáze: Fáze (úhel) komplexního čísla
cis: je méně známá notace: cis (x) = cos (x) + i sin (x); příklad: cis (pi/2) + 3 = 3+i
conj: konjugát, sdružené komplexní číslo - příklad: conj(4i+5) = 5-4i

Příklady použití:

• třetí odmocnina: cuberoot(1 - 27i)
• odmocniny komplexních čísel: pow(1 + i,1/7)
• fáze, úhel komplexního čísla: phase(1 + i)
• cis tvar komplexní čísla: 5 * cis(45°)
• polární tvar komplexní čísla: 10L60
• Komplexně sdružené číslo: conj(4 + 5i)
• rovnice s komplexními čísly: (z + i/2 )/(1 - i) = 4z + 5i
• soustava rovnic s imaginárními čísly: x - y = 4 + 6i; 3ix + 7y=x + iy
• Moivreova věta - rovnice: z ^ 4=1
• násobení tří komplexních čísel: (1 + 3i)(3 + 4i)(−5 + 3i)
• nájdide součin čísla 3-4i a jemu konjugovaného čísla: (3 - 4i) * conj(3 - 4i)
• operace s komplexními čísly: (3 - i) ^ 3

Zlomky v slovních úlohách:

slovní úlohy - více »